什么是三次收敛

三次收敛，简单来说就是每次迭代之后误差的平方收敛速度是三次幂。在数值计算中，我们常常需要通过迭代方法来求解方程或逼近函数。不同的迭代方法具有不同的收敛性质，其中三次收敛是一种比较理想的收敛性质。

三次收敛要求每次迭代之后误差的平方收敛速度是三次幂。假设我们的迭代方法是x_k+1 = g(x_k)，其中g(x)是一个连续可导的函数。我们将误差定义为e_k = x* - x_k，其中x*是方程的真实解。那么三次收敛可以用下面的公式来表示：

e_k+1 = a * (e_k)^3

其中a是一个常数。这个公式表明，每次迭代之后误差的平方收敛速度是三次幂。

三次收敛的好处是收敛速度比较快，迭代次数较少。相比于线性收敛，三次收敛的速度快了很多。当然，三次收敛并不是最高的收敛阶数，还有更高阶的收敛方法，例如四次收敛、五次收敛等。但是，这些高阶收敛方法往往有更高的要求，例如对初始值的选择、计算量的增加等。

值得一提的是，三次收敛并不是所有的迭代方法都具备的。实际上，绝大多数的迭代方法都只是线性收敛，即每次迭代之后误差的平方收敛速度是一个常数。只有少数特殊的迭代方法，例如牛顿法、Householder法等，才具备三次收敛的性质。

在实际应用中，我们常常希望使用具有更高收敛阶数的迭代方法，以提高计算效率。三次收敛是一种比较理想的收敛速度，尤其适用于复杂的计算问题。通过使用具有三次收敛性质的迭代方法，我们可以更快地求解方程、逼近函数，提高计算的准确性和效率。